Question

∫∫(x+y)＾2dσ 与∫∫(x+y)＾3dσ D是由圆周（x-2)^2+(y-1)^2=1所围

∫∫(x+y)＾2dσ 与∫∫(x+y)＾3dσ D是由圆周（x-2)^2+(y-1)^2=1所围成的闭区域比较两个二重积分的大小 求大神帮忙 要详细解释

Answer 1

解：作变换，令x=rcosθ+2，y=rsinθ+1
则 0<θ<2π，0<r<1，dσ=rdθdr
故 ∫∫<D>(x+y)^2dσ
=∫<0,2π>dθ∫<0,1>(rcosθ+rsinθ+3)^2*rdr
=∫<0,2π>dθ∫<0,1>[r^3(cosθ+sinθ)^2+6r^2(cosθ+rsinθ)+9r]dr
=∫<0,2π>[(cosθ+sinθ)^2/4+2(cosθ+rsinθ)+9/2]dθ
=19π/2；
∫∫<D>(x+y)^3dσ
=∫<0,2π>dθ∫<0,1>(rcosθ+rsinθ+3)^3*rdr
=∫<0,2π>dθ∫<0,1>[r^4(cosθ+rsinθ)^3+9r^3(cosθ+rsinθ)^2+27r^2(cosθ+rsinθ)+27r]dr
=∫<0,2π>[(cosθ+rsinθ)^3/5+9(cosθ+rsinθ)^2/4+9(cosθ+rsinθ)+27/2]dθ
=63π/2。

Answer 2

百度 同济大学高等数学下版答案 道客巴巴 里 有 98页