Question

如图，在等腰直角三角形中，AB=AC，点D是斜边BC的中点，点E，F分别为AB，AC边上的点，且DE⊥DF.

（1）求证：BE²+CF²=EF²；
（2）若BE=12，CF=5，试求△DEF的面积.

Answer 1

（1）证明：延长ED，使DG=ED，连接CG, FG
因为D是BC的中点
所以CD=BD
因为角CDG=角BDE（对顶角相等）
所以三角形CDG和三角形BDE全等（SAS)
所以CG=BE
角ABC=角DCG
所以AB平行CG
所以角BAC+角FCG=180度
因为三角形ABC是等腰直角三角形
所以角BAC=90度
所以角FCG=90度
所以三角形FCG是直角三角形
所以由勾股定理得：
FG^2=CF^2+CG^2
所以FG^2=BE^2+CF^2
因为DE垂直DF
所以角EDF=90度
因为角EDF+角GDF=180度
所以角GDF=90度
所以角EDF=角GDF=90度
因为DG=ED
DF=DF
所以三角形EDF和三角形GDF全等（SAS)
所以EF=FG
所以BE^2+CF^2=EF^2
（2）解：连接AD
因为三角形ABC是等腰直角三角形
所以角B=45度
角BAC=90度
AB=AC
因为D是斜边BC的中点
所以AD是等腰直角三角形ABC的中线,角平分线
所以AD=BD
角BAD=角CAD=1/.2角BAC=45度
所以角B=角CAD=45度
因为角BAC+角AED+角EDF+角AFD=360度
角EDF=90度（已证）
所以角AED+角AFD=180度
三角形EDF是直角三角形
S三角形DEF=1/2DE*DF
由勾股定理得：
EF^2=DE^2+DF^2
因为角AED+角BED=180度
所以角BED=角AFD
所以三角形BED和三角形AFD全等（AAS)
所以DE=DF
所以S三角形DEF=1/2DE^2
因为BE^2+CF^2=EF^2（已证）
BE=12 CF=6
所以EF^2=169
所以DE^2=169/2
所以S三角形DEF=169/4