Question

已知函数f(x)=(x²+ax+a)e^x, (1）当a=1时,求f(x)的单调区间

（2）是否存在实数a，使f(x)的极大值为3；若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由

Answer 1

解：
1）由题：a=1
f(x)=(x²+x+1)e^x
∴f'(x)=(2x+1)e^x+(x²+x+1)e^x=(x²+3x+2)e^x
令f'(x)<0可求出f(x)的单调递减区间
即x²+3x+2<0
-2<x<-1
即f(x)在(-2,-1)上单调递减
同理f(x)在（-∞，-2）∪（-1，+∞）上单调递增

2）f(x)=(x²+ax+a)e^x
∴f'(x)=[x²+(a+2)x+2a]e^x
设存在实数a，使f(x)在x0处取极大值f(x0)
则f'(x)必然有两个0点，且左0点是x0
在f'(x)中令g(x)=x²+(a+2)x+2a=0
Δ=(a+2)²-8a=(a-2)²
要使f'(x)有两0点，则g(x)=0必有两根
Δ>0
∴a≠2

当a>2时x0=-a
将x0代入f(x0)=3中得：
(a²+a*a+a)e^a=3
∵a>2
∴(a²+a*a+a)e^a>3上式无解！

当a<2时x0=-2
将x0代入f(x0)=3中得：
(4-2a+a)e^(-2)=3
a=-3e²
综上，存在实数a=-3e²使f(x)能取极大值3

口算的，不知道正确与否，思路就这样，如果你能理解，就采纳，谢谢

Answer 2

1) f(x)=(x²+x+1)e^x
f'(x)=(x²+x+1+2x+1)e^x=(x²+3x+2)e^x=(x+1)(x+2)e^x
得极值点x=-2,-1
单调增区间：x>-1或x<-2;
单调减区间：(-2,-1)

2)f'(x)=[x²+(a+2)x+2a]e^x=(x+2)(x+a)e^x
极值点只可能为x=-2或x=-a
若a<2,则极大值为f(-2)=(4-a)e^(-2)=3，得：a=4-3e²,符合；
若a>2,则极大值为f(-a)=ae^(-a)=3,由g(x)=xe^(-x),由g'(x)=(1-x)e^(-x),当x>1时，函数单调减，而g(2)=2e^(-2)<3, 所以g(a)=3无解；
若a=2,则无极值。
综合得：只有a=4-3e²符合题意。