Question

设xy满足约束条件x+y≥a，x－y≤－1.且z＝x＋ay的最小值是7.则a等于？

设xy满足约束条件x+y≥a，x－y≤－1.且z＝x＋ay的最小值是7.则a等于？我想问一下为什么不能得-5，谢谢

Answer 1

由约束条件作出可行域，然后对a进行分类，a=0时最小值不等于7，a＜0时目标函数无最小值，a＞0时化目标函数为直线方程斜截式，由图看出最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数，由对应的z值等于7求解a的值．
解：由约束条件
x+y≥a
x−y≤−1作可行域如图

联立
x−y＝−1
x+y＝a
解得
x＝（a-1）/2
y=（a+1）/2
∴A(（a-1）/2,（a+1）/2)
当a=0时A为(-1/2,1/2），z=x+ay的最小值为-1/2，不满足题意；
当a＜0时，由z=x+ay得y＝-1/a+z/a
要使z最小，则直线y＝-1/a+z/a在y轴上的截距最大，满足条件的最优解不存在；
当a＞0时，由z=x+ay得y＝-1/a+z/a
当直线过点A时直线y＝-1/a+z/a在y轴上的截距最小，z最小
此时z=(a-1)/2+(a2+a)/2＝7，解得：a=3或a=-5（舍）．

Answer 2

a≥3或a≤-5

x+y≥a与-1≥x-y
相加得y≥（a+1）/2
相减得x≥(a-1)/2
z(min)=（a+1）/2+a*(a-1)/2≥7
得a≥3或a≤-5