Question

数学压轴题，求解

已知，如图P点是菱形ABCD的对角线AC边上一动点，E是AB的中点，若AC=12，BD=8，则PB+PE的最小值为（ ）

图有点不标准，见谅！！
谢谢~~
辅助线的做法我知道，需要的是如何求出那个值。
注：此处的△ADB不是等边三角形，它最多只是AD=AB，为等腰三角形；因此E点的对称点与B点的连线，应该是不垂直与AD的！

Answer 1

取AD中点F，连接PF。PE+PB=PF+PB
当P F B三点共线时，长度最小。。

你的满意是我继续的动力，希望采纳！

追问

我知道这一点，可是你会发现算不下去；这只是个普通的菱形，难求的值啊！

追答

好算，，
这样算菱形面积相等AD*BF=1/2*8*6
AD^2=4^2+6^2
BF=24/v13=24v13/13

追问

当你将E点对称过去后（即所谓F点），其最多只是AD边上的中点，我无法证明BF⊥AD，毕竟△ADB不是等边的三角形！还是谢谢帮忙~

追答

恩，你说的很对！我再想想！

追问

真的很感谢！这是我们期末考试的一道压轴题，全班覆没啊~~汗颜~~

追答

这个用三角解不适合初中的学习，用最简单的办法就好了！

这个做辅助线，就可以了。延长BF到G是GF=PF，在三角形

这样解就好了。学习就要执着，问个为什么！

Answer 2

因为是菱形，可以以AC,BD为坐标轴建系，那么问题就转化为在线段AC上找一点到两个定点B，E的距离之和最小，关于AC找B的对称点，就是D，连接DE，DE就是你想求的最小值。在坐标系中，D点坐标是（0,4），E点坐标是（-3，-2），所以答案是3根号下5！
满意就采纳哦！
我原本就写得是连接DE，看到他们的答案好烦，姐一看就出来了好不？小孩儿，你几年级？全班竟然全军覆没？？

Answer 3

设F为AD中点，由菱形性质可知PF＝PE，所以PE＋BP＝BP＋FP＞＝BF（三角形BPF中）最小为BF
BO＝4，AO＝6，AB＝(4x4+6x6)=2x13^0.5，AF=13^0.5,令<OAB=a,tga=4/6=2/3
COS<DAB=COS2a=(1-tga^2)/(1+tga^2)=5/13
BF^2=AB^2=AF^2-2AB.AF.cos2a=52+13-2x2x13x5/13=45
BF=45^0.5＝3x5^0.5
3倍根号5

采纳啊

Answer 4

取AD中点F，连接FB交AC于G，连接GE，此时PE+PB最小
证明：在AC任取一点P，△ABO≌△ADO，则易得PE=PF，PE+PB=PF+PB，在△BFP中有BF＜PF+PB，BF=PF+PB

Answer 5

由题，得最小值＝DE，连接DE，交AO于点P
取BO中点F，连接EF，则EF＝AC／2＝6
由作图，可知F为BD四等分点　∴DF＝9
勾股，得DE＝　根号DF²＋EF²＝根号117=3根号13

追问

此处有错误，EF=AC/4=2/2AO=3；F为四等分点不错，可是BD=8，DF>BD?
按照所说，DE=√45=3√5

追答

不好意思啊算错了很多，确实EF是3，DF=3BD/4=6
那么答案是3根号5
或者也可以像他们一样作AD中点，但是还是算DE更快吧

追问

相对而言，你的方法我比较懂，可是有些迟了，对不起啊！感谢大家解题！

追答

没事，正弦余弦正切应该还没学吧，基本现阶段就是这么做了