Question

已知函数f（x）=|x-3|-2，g（x）=-|x+1|+4．（Ⅰ）若函数f（x）的值不大于1，求x的取值范围；（Ⅱ）若不

已知函数f（x）=|x-3|-2，g（x）=-|x+1|+4．（Ⅰ）若函数f（x）的值不大于1，求x的取值范围；（Ⅱ）若不等式f（x）-g（x）≥m+1的解集为R，求m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）的值不大于1，即|x-3|-2≤1，|x-3|≤3，
则-3≤x-3≤3，∴0≤x≤6．
∴x的取值范围是[0，6]；
（Ⅱ）f（x）-g（x）=（|x-3|-2）-（-|x+1|+4）=|x-3|+|x+1|-6．
∵对任意x∈R，f（x）-g（x）=|x-3|+|x+1|-6=|3-x|+|x+1|-6
≥|（3-x）+（x+1）|-6=4-6=-2．
于是m+1≤-2，解得m≤-3．
即m的取值范围是：（-∞，-3]．