Question

如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1 ，S 2 ，S 3 表示，则不难证明S

如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S 1 ，S 2 ，S 3 表示，则不难证明S 1 =S 2 +S 3 ．（1）如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 1 ，S 2 ，S 3 表示，那么S 1 ，S 2 ，S 3 之间有什么关系；（不必证明）（2）如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S 1 、S 2 、S 3 表示，请你确定S 1 ，S 2 ，S 3 之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S 1 ，S 2 ，S 3 表示，为使S 1 ，S 2 ，S 3 之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．

Answer 1

设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，则c 2 =a 2 +b 2 （1）S 1 =S 2 +S 3 ； （2）S 1 =S 2 +S 3 ．证明如下： 显然，S 1 = 3 4 c 2 ，S 2 = 3 4 a 2 ，S 3 = 3 4 b 2 ∴S 2 +S 3 = 3 4 ( a 2 + b 2 )= 3 4 c 2 =S 1， 即S 1 =S 2 +S 3 ． （3）当所作的三个三角形相似时，S 1 =S 2 +S 3 ．证明如下： ∵所作三个三角形相似 ∴ S 2 S 1 = a 2 c 2 ， S 3 S 1 = b 2 c 2 ∴ S 2 + S 3 S 1 = a 2 + b 2 c 2 =1 ∴S 1 =S 2 +S 3 ； （4）分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S 1 、S 2 、S 3 表示，则S 1 =S 2 +S 3 ．