（2014?宝鸡三模）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD．△PAD为等腰直角三角形，且PA
（2014?宝鸡三模）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD．△PAD为等腰直角三角形，且PA⊥AD．E，F分别为底边AB和侧棱PC的中点．（Ⅰ...
（2014?宝鸡三模）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD．△PAD为等腰直角三角形，且PA⊥AD． E，F分别为底边AB和侧棱PC的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：EF⊥平面PCD；（Ⅲ）求二面角E-PD-C的余弦值．
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解答：
（Ⅰ）证明：取PD的中点G，连接FG，AG．
因为F，G分别是PC，PD的中点，
所以FG是△PCD的中位线．
所以FG∥CD，且FG=
CD．
又因为E是AB的中点，且底面ABCD为正方形，
所以AE=
AB=
CD，且AE∥CD．
所以AE∥FG，且AE=FG．
所以四边形AEFG是平行四边形．
所以EF∥AG．
又EF?平面PAD，AG?平面PAD，
所以EF∥平面PAD． …（4分）
（Ⅱ）证明：因为平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以PA⊥平面ABCD．
所以PA⊥AB，PA⊥AD．
又因为ABCD为正方形，所以AB⊥AD，
所以AB，AD，AP两两垂直，以点A为原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系（如图）．
由题意易知AB=AD=AP，
设AB=AD=AP=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），
D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，0，0），F（1，1，1）．
因为
=（0，1，1），
=（0，2，-2），
=（-2，0，0），
所以
?
=0，
?
=0，
所以EF⊥PD，EF⊥CD．
又因为PD，CD相交于D，
所以EF⊥平面PCD． …（9分）
（Ⅲ）易得
=（-1，0，2），
=（0，2，-2）．
设平面EPD的法向量为
=（x，y，z），则
，即
，
令z=1，则
=（2，1，1）．
由（Ⅱ）可知平面PCD的法向量是
=（0，1，1），
所以cos＜
，
＞=
（Ⅰ）证明：取PD的中点G，连接FG，AG．因为F，G分别是PC，PD的中点，
所以FG是△PCD的中位线．
所以FG∥CD，且FG=
| 1 |
| 2 |
又因为E是AB的中点，且底面ABCD为正方形，
所以AE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
所以AE∥FG，且AE=FG．
所以四边形AEFG是平行四边形．
所以EF∥AG．
又EF?平面PAD，AG?平面PAD，
所以EF∥平面PAD． …（4分）
（Ⅱ）证明：因为平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以PA⊥平面ABCD．
所以PA⊥AB，PA⊥AD．
又因为ABCD为正方形，所以AB⊥AD，
所以AB，AD，AP两两垂直，以点A为原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系（如图）．
由题意易知AB=AD=AP，
设AB=AD=AP=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），
D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，0，0），F（1，1，1）．
因为
| EF |
| PD |
| CD |
所以
| EF |
| PD |
| EF |
| CD |
所以EF⊥PD，EF⊥CD．
又因为PD，CD相交于D，
所以EF⊥平面PCD． …（9分）
（Ⅲ）易得
| EP |
| PD |
设平面EPD的法向量为
| n |
|
|
令z=1，则
| n |
由（Ⅱ）可知平面PCD的法向量是
| EF |
所以cos＜
| n |
| EF |
| ||||
|
|
