Question

已知函数f（x）=lnx-ax+1．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线l与直线4x+3y-3=0垂直，求实

已知函数f（x）=lnx-ax+1．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线l与直线4x+3y-3=0垂直，求实数a的值；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：ln（n+1）＞12+13+…+1n+1（n∈N*）．

Answer 1

解答：（Ⅰ）解：函数f（x）=lnx-ax+1的定义域为（0，+∞），
f′(x)＝

1

x

?a．
∴f′（1）=1-a．
又切线l与直线4x+3y-3=0垂直，
∴1?a＝

3

4

，解得a＝

1

4

；
（Ⅱ）解：若a≤0，则f′(x)＝

1

x

?a＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数．
而f（1）=1-a，f（x）≤0不成立，故a＞0．
若a＞0，则当x∈(0，

1

a

)时，f′(x)＝

1

x

?a＞0；
当x∈(

1

a

，+∞)时，f′(x)＝

1

x

?a＜0．
∴f（x）在(0，

1

a

]上是增函数，在[

1

a

，+∞)上是减函数．
∴f（x）的最大值为f(

1

a

)＝?lna．
要使f（x）≤0恒成立，只需-lna≤0，解得a≥1；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=1时，有f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，且f（x）在（0，1]上是增函数，
又f（1）=0，
∴lnx＜x-1在x∈（0，1]上恒成立．
令x＝

n

n+1

，则ln

n

n+1

＜

n

n+1

?1＝?

1

n+1

，
令n=1，2，3…n，
则有ln

1

2

＜?

1

2

，ln

2

3

＜?

1

3

，…，ln

n

n+1

＜?

1

n+1

．
以上各式两边分别相加，得ln

1

2

+ln

2

3

+…+ln

n

n+1

＜?(

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

)．
即ln

1

n+1

＜?(

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

)，
故ln(n+1)＞

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

．