Question

如图，在正方形ABCD中，AB=5，P是BC边上任意一点，E是BC延长 线上一点，连接AP，作PF⊥AP，使PF=PA，连接

如图，在正方形ABCD中，AB=5，P是BC边上任意一点，E是BC延长 线上一点，连接AP，作PF⊥AP，使PF=PA，连接CF，AF，AF交CD边于点G，连接PG．（1）求证：∠GCF=∠FCE；（2）判断线段PG，PB与DG之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若BP=2，在直线AB上是否存在一点M，使四边形DMPF是平行四边形，若存在，求出BM的长度，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）PG=PB＋DG，证明见解析；（3）存在.3；理由见解析.

试题分析：：（1）过点F作FH⊥BE于点H，利用正方形的性质，证得△BAP≌△HPF得出PH=AB，BP=FH进一步得出BP+PC=PC+CH，CH=BP=FH，∠FHC=90°，求得∠DCF=90°-45°=45°得出结论； （2）延长PB至K，使BK=DG，连接AK，证得△ABK≌△ADG和△KAP≌△GAP，找出边相等得出结论；   （3）首先判定存在，在直线AB上取一点M，使四边形DMPF是平行四边形，证得△ABP≌△DAM，进一步球的结论即可． （1）证明：过点F作FH⊥BE于点H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=∠PHF=∠DCB=90º,AB=BC， ∴∠BAP＋∠APB=90º ∵AP⊥PF, ∴∠APB＋∠FPH=90º ∴∠FPH=∠BAP 又∵AP=PF ∴△BAP≌△HPF ∴PH=AB，BP=FH  ∴PH="BC" ∴BP＋PC=PC＋CH ∴CH="BP=FH" 而∠FHC=90º. ∴∠FCH=CFH=45º ∴∠DCF=90º－45º=45º ∴∠GCF=∠FCE （2）PG=PB＋DG 证明：延长PB至K，使BK=DG, ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB="AD," ∠ABK=ADG=90º ∴△ABK≌△ADG ∴AK="AG," ∠KAB=∠GAD, 而∠APF="90" º,AP=PF ∴∠PAF=∠PFA="45" º ∴∠BAP＋∠KAB=∠KAP="45" º=∠PAF ∴△KAP≌△GAP ∴KP=PG, ∴KB＋BP=DG＋BP=PG 即，PG=PB＋DG （3）存在. 如图，在直线AB上取一点M，使四边形DMPF是平行四边形， 则MD∥PF，且MD=FP， 又∵PF=AP， ∴MD=AP ∵四边形ABCD是正方形 ， ∴AB=AD，∠ABP=∠DAM ∴△ABP≌△DAM  ∴AM=BP=2， ∴BM=AB－AM=5－2="3." ∴当BM=3，BM+AM=AB时，四边形DMPF是平行四边形．