Question

关于函数f（x）=4sin (2x+ π 3 ) （x∈R），有下列命题：①由f（x 1 ）=f（x 2 ）=0可得x 1 -x

关于函数f（x）=4sin (2x+ π 3 ) （x∈R），有下列命题：①由f（x 1 ）=f（x 2 ）=0可得x 1 -x 2 必是π的整数倍；②y=f（x）的表达式可改写为y=4cos (2x- π 6 ) ；③y=f（x）的图象关于点 ( π 6 ，0) 对称；④y=f（x）的图象关于直线x=- π 6 x 对称．其中正确的命题的序号是______．（把你认为正确的命题序号都填上）

Answer 1

函数f（x）=4sin (2x+ π 3 ) 的最小正周期T=π， 由相邻两个零点的横坐标间的距离是 T 2 = π 2 知①错咐察． 利用诱首陆导公式得f（x）=4cos [ π 2 -(2x+ π 3 )] =4cos ( π 6 -2x) =4cos (2x- π 6 ) ，知②正确． 由于曲线f（x）与x轴的每个交点都是它的对称中心， 将x=- π 6 代入得f（x）=4sin0=0， 因此点（- π 6 ，0）是f（x）图象的一个对称中心， 故命题③正确． 曲线f（x）的对称轴必经过图象的最衡芹茄高点或最低点，且与y轴平行，而x=- π 6 时y=0，点 （- π 6 ，0）不是最高点也不是最低点， 故直线x=- π 6 不是图象的对称轴，因此命题④不正确． 故答案为：②③