Question

已知Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠ACB=90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、

已知Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∠ACB=90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）（1）如图，当PQ∥AC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长；（2）当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由．

Answer 1

（1）在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10；
∵Q是BC的中点，
∴CQ=QB；
又∵PQ∥AC，
∴AP=PB，即P是AB的中点，
∴Rt△ABC中，CP=

1

2

AB=5．

（2）当AC与PQ不平行时，只有∠CPQ为直角，△CPQ才可能是直角三角形．
以CQ为直径作半圆D，
①当半圆D与AB相切时，设切点为M，连接DM，则DM⊥AB，且AC=AM=6，
∴MB=AB-AM=10-6=4；
设CD=x，则DM=x，DB=8-x；
在Rt△DMB中，DB²=DM²+MB²，
即（8-x）²=x²+4²，解得x=3，
∴CQ=2x=6；
即当CQ=6且点P运动到切点M位置时，△CPQ为直角三角形．
②当6＜CQ＜8时，半圆D与直线AB有两个交点，当点P运动到这两个交点的位置时，△CPQ为直角三角形
③当0＜CQ＜6时，半圆D与直线AB相离，即点P在AB边上运动时，均在半圆D外，∠CPQ＜90°，此时△CPQ不可能为直角三角形．
∴当6≤CQ＜8时，△CPQ可能为直角三角形．