Question

已知函数f（x）=2cosxsinx+23cos2x-3，将函数f（x）的图象整体向右平移π6个单位，所得图象对应的函数记

已知函数f（x）=2cosxsinx+23cos2x-3，将函数f（x）的图象整体向右平移π6个单位，所得图象对应的函数记为g（x）．（1）求函数f（x）的最小正周期和函数f（x）的单调增区间；（2）当x∈[π6，π3]时，求函数g（x）的值域．

Answer 1

∵f（x）=2cosxsinx+2

3

cos²x-

3

=sin2x+

3

(2cos2x?1)=sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

)．
∴函数f（x）的图象整体向右平移

π

6

个单位，所得图象对应的函数：
g（x）=f（x-

π

6

）=2sin[2(x?

π

6

)+

π

3

]=2sin2x．
（1）函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

＝π．
由?

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
得?

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈Z．
∴函数f（x）的单调增区间为[?

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]，k∈Z；
（2）当x∈[

π

6

，

π

3

]时，2x∈[

π

3

，

2π

3

]，