Question

高数多元函数微分学题：求函数z=xy在适合附加条件下x+y=1下的极大值，拜托了

Answer 1

函数z=xy在适合附加条件下x+y=1下的极大值为1/4。

解：令f(x,y)=z=xy，g(x,y)=x+y-1，F(x,y)=f(x,y)+ag(x,y)=xy+a(x+y-1)

那么根据拉格朗日乘数法，可知要求z=xy的最大值，需先求F(x,y)的极值点。

分别对F(x,y)函数的x和y求导，并求出导数为零时的点，可得，

φF(x,y)/φx=y+a=0

φF(x,y)/φy=x+a=0

又x+y-1=0

通过方程组可求得，a=-1/2，x=1/2，y=1/2

那么当x=1/2，y=1/2时，z=xy可取最大值=1/2*1/2=1/4。

扩展资料：

1、拉格朗日乘数法的意义

给定二元函数z=ƒ(x,y)和附加条件g(x,y)=0，为寻找z=ƒ(x,y)在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数F(x,y,a)=f(x,y)+a*g(x,y)。其中a为参数。

分别求取F(x,y,a)对对x和y和λ的一阶偏导数等于零时x，y及a的值。然后根据极大值或者极小值从而求出z=ƒ(x,y)和附加条件g(x,y)=0下的极值。

2、求极值的步骤

（1）做拉格朗日函数L=f(x,y,z)+λφ(x,y,z),λ称拉格朗日乘数。

（2）求L分别对x,y,z,λ求偏导，得方程组,求出驻点P(x,y,z)。

（3） 把驻点坐标代入求取极值。

参考资料来源：百度百科-拉格朗日乘数法

Answer 2

方法1：转化为单变量求导：
z=xy，x+y=1
代入得z=x-x²有极大值。
导数z'=1-2x，
极值时z'=0,
x=1/2,
此时z=1/4。
方法二：拉格朗日乘数法
设给定二元函数z=ƒ(x,y)【此题即z=xy】和附加条件φ(x,y)=0【此题即x+y-1=0】，为寻找z=ƒ(x,y)在附加条件下的极值点，先做拉格朗日函数L=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)，其中λ为参数。求L(x,y)对x和y的一阶偏导数，令它们等于零，并与附加条件联立。
L=xy+λ（x+y-1）
Lx'(x,y)=y+λ=0
Ly'(x,y)=x+λ=0
x+y-1=0
解得x=y=1/2,λ=-1/2,
则极值为z=1/2×1/2=1/4 。

Answer 3

极大值是1/4。

从附件条件中解得y=1-x，x的取值任意。
代入z=xy中，得z=x(1-x)=-x^2+x=-(x-1/2)^2+1/4≤1/4，当z=1/2时z取得极大值1/4，此时y=1-x=1/2。
所以，z=xy在附加条件x+y=1下的极大值是1/4。

Answer 4

x+y=1得y=-x+1;代入函数得
z=-x^2+x;
因为二次项系数为-1,小于0,有极大值.
当x=-b/2a=1/2时,y=-x+1=1/2.
z有极大值1/4.

追问

额，能不能用拉格郎日乘数法做?谢谢

追答

L=X*Y+入*（x+Y-1）
对x求导，y+入=0
对y求导 ，x+入=0
对入求导，x+y-1=0
x=y=1/2,入=-1/2.
极值z=1/4

追问

怎么判断求出的值所对应的点是极值点呢？

追答

x+y=1,1=(x+y)^2=x^2+y^2+2xy≥2xy+2xy=4z, ∴ z≤1/4,当且仅当x=y=1/2时取"="号. 即x=y=1/2时Zmax=1/4

追问

好的，谢谢