Question

已知关于X的一元二次不等式ax^2+bx+c＞-2x的解为1＜x＜3。

（1）若方程ax^2+bx+c+6a=0有两个不相等的实数根，求二次函数解析式
（2）函数y=ax^2+bx+c的最大值为正数，求实数a的取值范围

Answer 1

(1)一元二次不等式ax^2+bx+c＞-2x可化为ax^2+（b+2）x+c＞0
因为其解为1＜x＜3，所以a＜0,且原不等式与a(x-1)(x-3)＞0等价
可以求得-4a=b+2即b=-2-4a
3a=c c=3a
则方程ax^2+bx+c+6a=0可化为ax^2-(2+4a)x+9a=0
因为其有两个相等的实数根
所以有a＜0
Δ=(2+4a)^2-36a^2=0
解得a=-1/5或1（舍去）
得a=-1/5.
则二次函数解析式为y=-1/5x^2-6/5x-3/5
(2)y=ax^2-(2+4a)x+3a
最大值为正数
即[4a*3a-(2+4a)^2]/(4a)＞0
a＜0
解得根号3-2＜a＜0或a＜-根号3-2

第一问的题目应该有一些问题，我改了一下。二次函数解析式也是按第二问求的。
大致的思路是这样，如有算错的地方还请包含。

Answer 2

a<0,b=-2-4a,c=3a

b^2-4ac-24a^2>0,a!=0

c-b^2/4a>0

Answer 3

由 已知关于X的一元二次不等式ax^2+bx+c＞-2x的解为1＜x＜3。可知
ax^2+bx+c+2x=0 的解为 1 3
所以a+b+c+2=0
9a+3b+c+6=0
-b/2a=2韦达定理
解出 a b c
其他可解
函数图像很重要