Question

已知函数f(x)＝2?x?1，x≤0f(x?1)，x＞0.，y=g（x）为k（x）=lnx+a+1在x=1处的切线方程，若方程f（x）-g

已知函数f(x)＝2?x?1，x≤0f(x?1)，x＞0.，y=g（x）为k（x）=lnx+a+1在x=1处的切线方程，若方程f（x）-g（x）=0有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（　　）A．（-∞，1）B．（-∞，1]C．（0，1）D．[0，+∞）

Answer 1

∵k（x）=lnx+a+1，
∴k′（x）=

1

x

，k（1）=a+1，
∴k′（1）=1，
∴k（x）=lnx+a+1在x=1处的切线方程为y-a-1=x-1，
∴g（x）=x+a．
函数f(x)＝

2?x?1，x≤0 f(x?1)，x＞0.

的图象如图所示，
当a＜1时，函数y=f（x）的图象与函数y=x+a的图象有两个交点，
即方程f（x）=x+a有且只有两个不相等的实数根．
所以实数a的取值范围是（-∞，1）．
故选A．