Question

高中数学不等式证明题

求证1/(n+1)*[1+1/3+1/5+……+1/(2n-1)]>1/n*(1/2+1/4+1/6+……+1/2n),n>2 （好像可用放缩法）
步骤请详细点，方法越多越好
一楼的回答错了，3楼的看不懂，能详细点吗？

Answer 1

由于楼主要求，我再写详细点。

解法一：（数学归纳法）
因为n>2
所以
1、当n=3时，
左边>右边 成立
2、假设当n=k时，原不等式成立，则有
[1+1/3+...1/(2k-1)]>(k+1)/k*(1/2+1/4+...1/2k)
当n=k+1时
左边=1/（k+2）[1+1/3+...+1/(2k-1)+1/(2k+1)]>[1/(k+2)]*[(k+1)/k][1/2+...1/2k+1/(2k+1)]
由均值不等式，k(k+2)<{[k+(k+2)]/2}平方=（k+1）平方
所以左边=1/（k+2）[1+1/3+...+1/(2k-1)+1/(2k+1)]>[1/(k+2)]*[(k+1)/k][1/2+...1/2k+1/(2k+1)]
>1/(k+1)[1/2+1/4+...+1/2k+1/(2k+1)]>1/(k+1)[1/2+1/4+...+1/2k+1/2(k+1)]
故命题成立。

解法二：
只需证明n[1+1/3+..+1/(2n-1)]>(n+1)(1/2+1/4+...+1/2n)·······(*)
(*)式左边=n/2+n/2+n[1/3+..+1/(2n-1)]
(*)式右边=n(1/2+1/4+...+1/2n)+(1/2+1/4+...+1/2n)=n/2+n(1/4+...+1/2n)+(1/2+1/4+...+1/2n)
比较上述两个式子，要(*)式成立，只需证明
n/2>1/2+1/4+..+1/2n ,
以及要证明1/3+1/5+...+1/(2n-1)>1/4+...+1/2n
此两个式子显然成立，从而（*）式成立，不等式得证。

Answer 2

无需折腾,三楼说得很清楚了

Answer 3

数学归纳法可以试试看

Answer 4

(1)
[1/(n+1)]*[1+1/3+1/5+……+1/(2n-1)]>
(将1/3,1/5...1/(2n-1)都换成1/(2n))
>[1/(n+1)]*[1+1/2n+1/2n+……+1/(2n)]>
(共有(n-1)个(1/(2n) )
>[1/(n+1)]*[1+(n-1)/(2n)]>
>[1/(n+1)]*[(2n+n-1)/(2n)]>
=(1/n)*{(3n-1)/[2(n+1)]} ***
由于(3n-1)-2(n+1)=n-3
当n>3时
(3n-1)-2(n+1)=n-3>0,
即(3n-1)>2(n+1),推出(3n-1)/[2(n+1)]>1.
***处：(1/n)*{(3n-1)/[2(n+1)]}>(1/n)
即[1/(n+1)]*[1+1/3+1/5+……+1/(2n-1)]>1/n
当n>3时成立。
而实际验证，n=3时也成立
故知原命n>2时成立

Answer 5

rt