Question

已知函数f(x)＝lnx?ax．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若2xlnx≤2mx2-1在[1，e]恒成立，求m的取

已知函数f(x)＝lnx?ax．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若2xlnx≤2mx2-1在[1，e]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）求导函数，可得f′(x)＝

1

x

+

a

x2

＝

x+a

x2

(x＞0)
当a＜0时，x∈（0，-a），f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（-a，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增．
当a≥0时，x∈（0，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增．        …（4分）
（Ⅱ）2xlnx≤2mx²-1，得到

lnx

x

+

1

2x2

≤m
令函数g(x)＝

lnx

x

+

1

2x2

，求导数，可得g′(x)＝

1?lnx? 1 x

x2

a=-1时，f(x)＝lnx+

1

x

，x∈（0，1），f'（x）＜0，f（x）单调递减，
x∈（1，+∞），f'（x）＞0，f（x）单调递增．
∴f（x）≥f（1）=1，即lnx+

1

x

≥1，∴g′(x)＝

1?lnx? 1 x

x2

≤0
∴g（x）在x∈（0，+∞），g'（x）≤0，g（x）单调递减，
∴函数g(x)＝

lnx

x

+

1

2x2

在[1，e]上的最大值为

1

2

∴在[1，e]上，若

lnx

x

+

1

2x2

≤m恒成立，则m≥

1

2

．…（12分）