Question

如图，在直角三角形ABC中，∠ACB等于90度，D为AB中点,DE,DF分别交AC于E，交BC于F

如图，在直角三角形ABC中，∠ACB等于90度，D为AB中点,DE,DF分别交AC于E，交BC于F，DE⊥DF。问题在图片里

Answer 1

（1）证明：过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，
连接EM．
∵AM∥BC，
∴∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B．
∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，
∴△ADM≌△BDF．
∴AM=BF，MD=DF．
又DE⊥DF，∴EF=EM．
∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2．（3分）

（2）成立．
证明：延长FD至M，使DM=DF，连接AM、EM．
∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，
∴△ADM≌△BDF．
∴AM=BF，∠MAD=∠B．
∴AM∥BC．∴∠MAE=∠ACB=90°．
又DE⊥DF，MD=FD，∴EF=EM．
∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2（7分）
（说明：本题提供的两种证法对（1）、（2）两问均适用）

追答

解析
（1）过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，连接EM，通过证明AM=BF，EF=EM即可得出答案；
（2）延长FD至M，使DM=DF，连接AM、EM，根据（1）通过证明AM=BF，EF=EM即可得出答案．

Answer 2

延长FD至G，使DG=DF，连接AG
∵AD=BD，∠ADG=∠BDF
∴△ADG≌BDF
∴AG=BF，∠DAG=∠B
∴∠EAG=∠EAD+∠DAG=∠EAD+∠B=90°
又∵ED⊥DF，FD=GD
∴EG=EF
∴EG²=AE²+AG²
即EF²=AE²+BF²
∴当∠ACB=90°时，不论AC是否等于BC，结论均成立

Answer 3

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