Question

. (本小题满分10分)如图，在三棱锥 中， 底面 ，点 ， 分别在棱 上，且 （Ⅰ）求证： 平面 ；（

. (本小题满分10分)如图，在三棱锥 中， 底面 ，点 ， 分别在棱 上，且 （Ⅰ）求证： 平面 ；（Ⅱ）当 为 的中点时，求 与平面 所成的角的大小；（Ⅲ）是否存在点 使得二面角 为直二面角？并说明理 由.

Answer 1

解：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC. 又 ，∴AC⊥BC. ∴BC⊥平面PAC.                         ………3分 （Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC， ∴ ， 又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC， ∴DE⊥平面PAC，垂足为点E. ∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角， ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB， ∴△ABP为等腰直角三角形，∴ ， ∴在Rt△ABC中， ，∴ . ∴在Rt△ADE中， ， ∴ 与平面 所成的角的大小 .………8分 （Ⅲ）∵AE//BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC， 又∵AE 平面PAC，PE 平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE， ∴∠AEP为二面角 的平面角， ∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴ . ∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，这时 ， 故存在点E使得二面角 是直二面角. ………12分 【解法2】如图，以A为原煤点建立空间直角坐标系 ， 设 ，由已知可得 . （Ⅰ）∵ ， ∴ ，∴BC⊥AP. 又∵ ，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC. ………3分 （Ⅱ）∵D为PB的中点，DE//BC，∴E为PC的中点， ∴ ， ∴又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴∴DE⊥平面PAC，垂足为点E. ∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角， ∵ ， ∴ . ∴ 与平面 所成的角的大小 .………8分 （Ⅲ）同解法1.

略