Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D，过点C作CE ∥ AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α．（1）①当α=______度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为______；②当α=______度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为______；（2）当α=90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．

Answer 1

（1）①当四边形EDBC是等腰梯形时， ∵∠EDB=∠B=60°，而∠A=30°， ∴α=∠EDB-∠A=30°， ∴△ADO是等腰三角形， ∴AD=OD， 过点O作OF ∥ BC， ∵BC⊥AC， ∴OF⊥AC， ∴OF是△ABC的中位线， ∴OF= 1 2 BC=1， ∵α=∠EDB-∠A=30°， ∴∠ODF=60°=∠DOF=60°， ∴△ODF是等边三角形， ∴OD=OF=DF=1， ∵∠A=∠α=30°， ∴AD=OD=1； ②当四边形EDBC是直角梯形时，∠ODA=90°，而∠A=30°， 根据三角形的内角和定理，得α=90°-∠A=60°，此时，AD= 1 2 AC× 3 2 =1.5． （2）当∠α=90°时，四边形EDBC是菱形． ∵∠α=∠ACB=90°， ∴BC ∥ ED， ∵CE ∥ AB， ∴四边形EDBC是平行四边形． 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2， ∴∠A=30°， ∴AB=4，AC=2 3 ， ∴AO= 1 2 AC = 3 ． 在Rt△AOD中，∠A=30°，OD= 1 2 AD， AD= AO 2 + OD 2 = ( 3 ) 2 + ( 1 2 AD) 2 ， ∴AD=2， ∴BD=2， ∴BD=BC． 又∵四边形EDBC是平行四边形， ∴四边形EDBC是菱形．