Question

设数{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn+1，数列{bn}满足a1=b1，点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，n∈N

设数{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=2Sn+1，数列{bn}满足a1=b1，点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，n∈N* （1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设cn=bnan，求数列{cn}的前n项和Tn．

Answer 1

（Ⅰ）由a_n+1=2S_n+1可得a_n=2S_n-1+1（n≥2），
两式相减得a_n+1-a_n=2a_n，
a_n+1=3a_n（n≥2）．
又a₂=2S₁+1=3，
所以a₂=3a₁．
故{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列．
所以a_n=3^n-1．
由点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，所以b_n+1-b_n=2．
则数列{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
则b_n=1+（n-1）?2=2n-1
（Ⅱ）因为 cn＝

bn

an

＝

2n?1

3n?1

，所以 Tn＝

1

30

+

3

31

+

5

32

++

2n?1

3n?1

．
则

1

3

Tn＝

1

31

+

3

32

+

5

32

++

2n?3

3n?1

+

2n?1

3n

，
两式相减得：

2

3

Tn＝1+

2

3

+

2

32

++

2

3n?1

?

2n?1

3n

．
所以 Tn＝3?

1

2?3n?2

?

2n?1

2?3n?1

=3?

n+1

3n?1

．