Question

在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，点E在DC的延长线上，AE交BC边于点F，且AE=AB． （1）如图l，求证：∠

在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，点E在DC的延长线上，AE交BC边于点F，且AE=AB． （1）如图l，求证：∠B＝∠E：（2）如图2，在（1）的条件下，在BC上取一点M，使BM=CE，连接AM，过M作MH⊥AE于H，连接CH，若∠BAE＝∠EHC＝60°，CF＝2，求线段AH的长.

Answer 1

（1）过点A作AG//CD交BC于点G，AP⊥BC于点P，AQ⊥CD于点Q，连接AC，则有∠APG=∠AQE=90°，由AD//BC可得四边形AGCD是平行四边形，再结合AD=CD可得 AGCD是菱形，即可得到∠ACP=∠ACD，则可得AP=AQ，再有AB=AE，可证得Rt△APB≌Rt△AQE，从而可以证得结论；（2）

试题分析：（1）过点A作AG//CD交BC于点G，AP⊥BC于点P，AQ⊥CD于点Q，连接AC，则有∠APG=∠AQE=90°，由AD//BC可得四边形AGCD是平行四边形，再结合AD=CD可得 AGCD是菱形，即可得到∠ACP=∠ACD，则可得AP=AQ，再有AB=AE，可证得Rt△APB≌Rt△AQE，从而可以证得结论； （2）在HE上截取HK=CH，连接MK、AC，由∠KHC=60°可得△KHC是等边三角形，∠AHC=120°，即可得到CH=CK，∠HKC=60°，由AB=AE，∠B=∠E，BM=CE可证得△ABM≌△AEC，即得∠BAM=∠EAC，AM=AC，即可得到△AMC是等边三角形，则可得AC=CM，∠HCK=∠ACM=60°，从而可以证得△MCK≌△ACH，即得MK=AH，∠AHC=∠MKC=120°，则可得到∠MKF=120°-60°=60°，由MH⊥AH可得∠HMK=30°，设CH=CK=HK= ，在Rt△MHK中，则有MK=AH= ，再在Rt△MHK中，根据勾股定理可得MH= ，利用面积法易求MF=4，即可得到AM=MC=4+2=6，在Rt△AHM中根据勾股定理求解即可. 解：（1）过点A作AG//CD交BC于点G，AP⊥BC于点P，AQ⊥CD于点Q，连接AC 则有∠APG=∠AQE=90° ∵AD//BC ∴四边形AGCD是平行四边形 ∵AD=CD ∴ AGCD是菱形 ∴∠ACP=∠ACD   ∴AP=AQ ∵AB=AE ∴Rt△APB≌Rt△AQE ∴∠B=∠E； （2）在HE上截取HK=CH，连接MK、AC ∵∠KHC=60° ∴△KHC是等边三角形，∠AHC=120° ∴CH=CK，∠HKC=60° ∵AB=AE，∠B=∠E，BM=CE ∴△ABM≌△AEC ∴∠BAM=∠EAC，AM=AC ∵∠BAE=60° ∴∠MAC=60° ∴△AMC是等边三角形 ∴AC=CM，∠HCK=∠ACM=60° ∴∠MCK=∠ACH ∴△MCK≌△ACH ∴MK=AH，∠AHC=∠MKC=120° ∴∠MKF=120°-60°=60° ∵MH⊥AH ∴∠HMK=30° ∴设CH=CK=HK=   在Rt△MHK中，则有MK=AH= 在Rt△MHK中， ∴MH= 利用面积法易求：MF=4 ∴AM=MC=4+2=6 在Rt△AHM中， ∴ 解得： ， （舍去） ∴AH=2 = . 点评：此类问题难度较大，在中考中比较常见，一般在压轴题中出现，需特别注意.