Question

（本小题满分12分）已知函数 （1）证明：当 时，函数 只有一个零点；（2）若函数 在区间（1，+∞）上

（本小题满分12分）已知函数 （1）证明：当 时，函数 只有一个零点；（2）若函数 在区间（1，+∞）上是减函数，求实数 的取值范围。

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Answer 1

（1）函数 只有一个零点；证明略 （2）实数a的取值范围是

解：（1）当a=1时， 其定义域为     …………2分 解得 当 ， 在区间（0，1）上单调递增， 在区间 上单调递减， 当x=1时，函数f（x）取得最大值，即     …………4分 所以函数 只有一个零点；     …………5分 （2）因为 ， 所以 ①当a=0时， 所以 上为增函数，不合题意  …………7分 ②当 ， 即 ，此时，f（x）的单调减区间为 ，依题意， 得        …………9分 （3）当 即 的单调减区间为 综上所述，实数a的取值范围是   …………12分