Question

如图，已知抛物线y=﹣ x 2 +bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．

如图，已知抛物线y=﹣ x 2 +bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．（1）求抛物线的解析式及它的对称轴；（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

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Answer 1

（1）y=- x 2 + x+4，x=3；（2）C（0，4）；y=? x+4．（3）Q 1 （3，0），Q 2 （3，4+ ），Q 3 （3，4- ）．

试题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=? 求出对称轴方程； （2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C坐标；令y=0，可求出点B坐标．再利用待定系数法求出直线BD的解析式； （3）本问为存在型问题．若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解． （1）∵抛物线y=- x 2 +bx+4的图象经过点A（-2，0）， ∴- ×（-2）2+b×（-2）+4=0， 解得：b= ， ∴抛物线解析式为 y=- x 2 + x+4， 又∵y=- x 2 + x+4=- （x-3） 2 + ， ∴对称轴方程为：x=3． （2）在y=- x 2 + x+4中，令x=0，得y=4， ∴C（0，4）； 令y=0，即- x 2 + x+4=0，整理得x2-6x-16=0，解得：x=8或x=-2， ∴A（-2，0），B（8，0）． 设直线BC的解析式为y=kx+b， 把B（8，0），C（0，4）的坐标分别代入解析式，得： ， 解得 ， ∴直线BC的解析式为：y=? x+4． ∵抛物线的对称轴方程为：x=3， 可设点Q（3，t），则可求得： AC= ， AQ= ， CQ= ． i）当AQ=CQ时，有 = ， 25+t 2 =t 2 -8t+16+9， 解得t=0， ∴Q 1 （3，0）； ii）当AC=AQ时，有 t 2 =-5，此方程无实数根， ∴此时△ACQ不能构成等腰三角形； iii）当AC=CQ时，有 ， 整理得：t 2 -8t+5=0， 解得：t=4± ， ∴点Q坐标为：Q 2 （3，4+ ），Q 3 （3，4- ）． 综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q 1 （3，0），Q 2 （3，4+ ），Q 3 （3，4- ）．