Question

已知椭圆C：x∧2/a∧2+y∧2/b∧2=1（a＞b＞0）的离心率e=√3/2，且过点

已知椭圆C：x∧2/a∧2+y∧2/b∧2=1（a＞b＞0）的离心率e=√3/2，且过点（-√2，√2/2）。（1）求椭圆C的标准方程；（2）设A、B是椭圆上不同的两点，O是坐标原点，OA⊥OB，求证：1/lOAl∧2+1/lOBl∧2为定值

Answer 1

(1) e² = 3/4 = c²/a² = (a² - b²)/a², a² = 4b²
x²/(4b²) + y²/b² = 1
将已知点的坐标代入，得到b² = 1, a² = 4
x²/4 + y² = 1

(2)
令A(2cosθ, sinθ), OA的斜率为k = sinθ/(2cosθ), OB的斜率k' = -1/k = -2cosθ/sinθ
OB: y = -(2cosθ)x/sinθ
代入椭圆的方程: x²/4 + (4cos²θ)x²/sin²θ = 1, x² = 4sin²θ/(sin²θ + 16cos²θ) =
4sin²θ/(1 + 15cos²θ)
根据对称性, 不影响结果，不妨取正根: x = 2sinθ/√(1 + 15cos²θ)
y = -(2cosθ)x/sinθ = -4cosθ/√(1 + 15cos²θ)
B(2sinθ/√(1 + 15cos²θ), -4cosθ/√(1 + 15cos²θ))
|OA|² = (2cosθ)² + (sinθ)² = 4cos²θ + sin²θ = 1 + 3cos²θ
|OB|² = [2sinθ/√(1 + 15cosθ²)]² + [-4cosθ/√(1 + 15cos²θ)]² = (4sin²θ + 16cos²θ)/(1 + 15cos²θ) = (4 + 12cos²θ)/(1 + 15cos²θ)
1/|OA|² + 1/|OB|² = 1/(1 + 3cos²θ) + (1 + 15cos²θ)/(4 + 12cos²θ)
= (4 + 1 + 15cos²θ)/(4 + 12cos²θ)
= 5(1 + 3cos²θ)/[4(1 + 3cos²θ)] = 5/4