Question

数学函数

设函数f(x)在区间[0，1]连续，在(0，1)二阶可导，limx→0+f(x)/x=1，limx→1-f(x)/x-1=2，证明存在η∈(0，1)，使f(η)=f"(η)

Answer 1

因为f（x）在（0,1）二阶可导，所以f‘（x）在（0,1）连续。
因为limx→0+f(x)/x=1,且当limx→0时x→0所以f(x)/x中的分子f(x)在x→0也是趋于0的
又因为f(x)在区间[0，1]连续所以f（0）=0,
同理可得f(1)=0
所以f'+（0）=1，f'-(1)=-2.
做函数F（x）=f(x)-f‘（x）
因为f‘（x）在（0,1）连续所以在领域（0，δ）内F（x）<0（1-δ，1）内F（x）>0
所以由介值定理可得必存在一点η使得F（η）=0，即f(η)=f"(η)