Question

已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是AC上一点，∠ABD=∠C，直线EF过点D，与BA的延长线相交于F，且EF

已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是AC上一点，∠ABD=∠C，直线EF过点D，与BA的延长线相交于F，且EF⊥BC，垂足为E．（1）写出图中所有与△ABD相似的三角形；（2）探索：设ACAB＝t，是否存在这样的t值，使得△ADF∽△EDB？说明理由．

Answer 1

（1）根据相似三角形的判定得，与△ABD相似的三角形有：△ACB，△ECD，△AFD，△EFB．

（2）存在t值，使△ADF∽△EDB．理由如下：
∵∠F=180°-∠FAD-∠FDA=90°-∠FDA，∠C=180°-∠CED-∠CDE=90°-∠CDE，∠FDA=∠CDE．
∴∠F=∠C．
∵∠ABD=∠C，
∴∠F=∠ABD．
在△ABD与△AFD中，∠F=∠ABD，∠FAD=∠BAD=90°，AD=AD，
∴△ABD≌△AFD．
∵△ADF∽△EDB，
∴△ADB∽△EDB，而相似比=

DB

DB

=1．
∴△ADB≌△EDB．
∴∠ABD=∠EBD．
∴∠F=∠ABD=∠EBD．
∵∠F+∠ABD+∠EBD=90°，
∴∠F=30°．
∴∠C=30°．
∴∠ABC=60°．
∴

AC

AB

=tan∠ABC=

3

．
∴t=

3

．