Question

收敛数列的保号性怎么理解？

Answer 1

本视频是高等数学系列教学视频之一，该系列教学视频是系统的教学视频，有助于非数学专业学生更好地学习高等数学及考研。每周周二四六更新。

Answer 2

收敛数列的保号性：

1,若有正整数N，使得当n>N时An>0(或<0)，则极限A>0(或<0).
2,若极限A>0(或<0),则有正整数N使得当n>N时，An>0(或<0).
例子：An=1/n ，每一个An都大于0，但极限A=0.
说明：
1、用反证法来说明：假设满足你的条件(An>0)，但A<0，则-A/2>0，由极限的定义，存在一个M，使得当n>M时，|An-A|<(-A/2) => An<A/2<0。这里对n>M都成立，所以我们也可以同时要求n>N，这时有An<0(n>N)，与条件矛盾。
2.直接说明即可。
若A>0，则A/2>0。由极限的定义，存在一个N，当n>N时，|An-A|<A/2 => An>A/2>0。这样我们已经找到了一个N，当n>N时，An>0。

收敛数列性质

1.唯一性

如果数列Xn收敛，每个收敛的数列只有一个 极限。收敛数列

2.有界性

定义：设有数列Xn , 若存在M>0,使得一切自然数n,恒有|Xn|

定理1：如果数列{Xn}收敛，那么该数列必定有界。推论： 无界数列必定发散；数列有界

，不一定收敛；数列发散不一定无界。数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件

3.保号性

如果数列{Xn}收敛于a，且a>0（或a<0），那么存在正整数N，当n>N时，都有Xn>0（或Xn<0）。