Question

几何题求证

如下图，在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上的一点，MN垂直于DM，且交∠CBE的平分线于N。
1、求证：MD=NM； 2、如将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上的任意一点”，其余条件不变，则结论“MD=MN”还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

Answer 1

在AD上取点F，使AF=AM，则DF=MB，连接FM。
因AFM和EBN均为直角等腰三角形，故∠DFM=∠MBN=180°-45°；
因∠FDM和∠BMN均为∠DMA的余角,故∠FDM=∠BMN。
在△DFM和△MBN中：DF=MB、∠DFM=∠MBN、∠FDM=∠BMN，故△DFM≌△MBN。
从而证得：MD=NM。
以上证明已有结论：M处于AB上的任意位置，都有MD=NM。

Answer 2

取AD的中点F，连接FM。△DFM∽△MBN。
1、已证△DFM∽△MBN，又因DF=MB,故△DFM≌△MBN，得MD=NM。
2、已证△DFM∽△MBN，当M不是AB的中点时，DF≠MB,故MD≠MN.