Question

如果函数f(x)=a^x(a^x-3a^2-1)(a>0且a不等于1)在区间[0,正无穷)上是增函数,那么实数a的取值范围是?

（过程哦，有比较简单的方法吗？）

Answer 1

令a^x=t
f(t)=t^2-(3a^2+1)t
当0<a<1时，y=a^x是减函数
因为x>0 所以0<t<1
从而问题转化成f（t)在（0,1）是 减函数（注意）
所以y=f(t)对称轴>=1
解得a>=gen3/3

当a>1时，y=a^x是增函数
且t>1
问题转化为y=f（t）在t>1时为增函数
故对称轴<=1
解得-根3/3<=a<=gen3/3
而a>1
从而这种情况无解

综上，gen3/3<=a<1

Answer 2

f(x)=a^x(a^x-3a^2-1)

=[a^x-(3a^+1)/2]^2-(3a^2+1)/4

a^x是一个单调函数，且a^x>0

所以要使区间[0,正无穷)上是增函数

则当a∈（0，1），(3a^+1)/2≥1，得a≥√3/3

又知当a>1时，(3a^+1)/2≤0，得无解

即a的取值范围是〔√3/3，1）