Question

已知实数a≠0，函数f(x)={2x+α，x<1且f(x)={-x-2a，x≥1。

若f(1-a)=f(1+a)，则α的值为？

Answer 1

(1)f(x)=x|2x-8|={2x^2-8x=2(x-2)^2-8,4<=x<=5, {-2x^2+8x=-2(x-2)^2+8,3<=x0,x∈[3,5], g'(x)=1-(1-a)/(x-1)^2=[(x-1)^2-(1-a)]/(x-1)^2, g'(x)>0,g(x)是增函数，g(x)的值域是[(9-a)/2,(25-a)/4]. 依题意f(x)∈[(9-a)/2,(25-a)/4]时在[3,5]中有2个原像， ∴a/2∈(3,5), f(x)={2x^2-ax=2(x-a/4)^2-a^2/8,a/2<=x<=5; {-2x^2+ax=-2(x-a/4)^2+a^2/8,3<=x0,且(25-a)/4<=min{50-5a,3a-18}, 解得a<9,97/13<=a<=175/19, ∴97/13<=a<9,为所求.

追问

α是个确定的值。

Answer 2

f(x)
=2x+α , x<1
=-x-2a , x≥1
f(1-a)=f(1+a)
case 1: a>0
f(1-a) =2(1-a)+α
f(1+a) = -(1+a)-2a
f(1-a)=f(1+a)
2(1-a)+α = -(1+a)-2a
2-2a +α = -1-3a
α = -3-a
case 1: a<0
f(1-a)=-(1-a)-2a
f(1+a) =2(1+a)+α
f(1-a)=f(1+a)
-(1-a)-2a =2(1+a)+α
-1+a = 2+2a+α
α = -3-a
ie
α = -3-a