Question

求不定积分∫ln(1+x)/1+x²dx

第11题

Answer 1

分享一种“简洁”解法。设x=(1-t)/(1+t)、原式=I。∴dx=-2dt/(1+t)²。
I=∫(0,1)[ln2-ln(1+t)]dt/(1+t²)=ln2∫(0,1)dt/(1+t²)-I。
∴2I=ln2∫(0,1)dt/(1+t²)=ln2arctant丨(t=0,1)=πln2/4。∴原式=πln2/8。
供参考。

Answer 2

Answer 3

∫ln(x^2+ 1)dx
=xln(x^2+ 1)dx - 2∫x^2/(x^2+ 1)dx
=xln(x^2+ 1)dx - 2∫[ 1- 1/(x^2+ 1)]dx
=xln(x^2+ 1)dx - 2[ x- arctanx] + C

Answer 4

还可利用含参量正常积分的“可微性”