Question

划线处怎么得出的呢

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Answer 1

变量代换，因为φ(x)=∫ 0到1 f(xt)dt...所以令u=xt, 就是∫ 0到1 f(u)dt,但是上下限要变（定积分换元法），变成lim xt x→1=t和lim xt x→0=0（没看错的话上限是x吧？有点不清晰），这里t实际上就是x...（如果x在上下限里的话被积函数自变量和微元不能是x，要写成其他字母（如t），但是如果x不在上下限里或者从上下限里被消掉了，那就把被积函数和微元变成x）
把两个极限换成上下限就变成了∫ 0到x f(u)dt，微元也要变，变成u，而du=tdx，就如我刚才说的，t可以拿出来并且变成x(因为这个t可以拿出来，所以不用变成t.)所以为了把这个乘上去的x消掉，再乘一个1/x就可以了，所以φ(x)=
(∫ 0到x f(u)du)/x
其实这个就是定积分换元法，只不过积分上下限要怎么变你可能不太理解。。就是把积分上限变成你要换元的函数往原来上限跑的极限，下限如法炮制，积分上下限就完成了，然后再注意一点！在积分里面的微元和被积函数都要把自变量换成除x以外其他字母。（这些字母本质上是x）外面的x或者积分上下限的x就写成x就行了。