Question

高中数学，线面垂直

过△ABC所在平面a外一点P,作PO⊥a，垂足为O，连接PA,PB,pc
证明：当PA⊥PB，PB⊥PC,PC⊥PA，时，点O是△ABC的垂心.
写出详细步骤，不要写同理，上课时候老师讲过，没怎么听明白，希望能解析一下，谢谢！

Answer 1

约定:用PA'表示"向量PA", 用PB'表示"向量PB",...
因为 PA⊥PB，PB⊥PC,PC⊥PA
得PA'·PB'=PB'·PC'=PC'·PA'=0 (1)
PO⊥平面ABC
得PO'·AB'=PO'·BC'=PO'·AC'=0 (2)
PA'·BC'=PA'·(PC'-PB')=PA'·PC'-PA'·PB'=0-0=0
即 PA'·BC'=0
OA'·BC'=(PA'-PO')·BC'=PA'·BC'-PO'·BC'=0-0=0
得 OA⊥BC
同理可证得 OB⊥AC,OC⊥AB
所以 点O是△ABC的垂心.

Answer 2

PA⊥PB，PA⊥PC，∴PA⊥面PBC
∴PA⊥BC
又因为P在底面上的射影是O，由三垂线定理的逆定理，OA⊥BC
同理OB⊥AC，OC⊥AB，那么O就是垂心。

Answer 3

线面垂直可以得到线线垂直，例如a垂直α面。则吧与α面内的所有直线都垂直，这不就得到线线垂直了吗，

追问

是这个道理，但是这道题需要证明三个线线垂直，我只能证明出一个，剩下的两个其实写同理就好了，可是我想弄明白，一知半解感觉不太好。

Answer 4

线垂直面有该线垂直于面上任意两条相交的直线
已知有D1E垂直于AB1，只要找出点F，使得D1E垂直于AF即可，也就是使DE垂直于AF
以点E为原点，BC为x轴画坐标图，可以得到BC所在的直线方程为:
y=2x
可得AF所在的直线斜率为:-1/2，且过点A(-0.5,1)、F(0.5,n)
可求得:F(0.5,0.5)
既点F为CD的中点