已知函数f(x)=ax²+x–1+3a(a∈R)在区间[–1，1]上有零点，求实数a的取值范围
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f(x)=ax²+x-1+3a(a属于r)在区间
[-1,1]上有零点
即ax²+x-1+3a=0在[-1,1]上有实数解
即a(x²+3)=1-x
即
a=(1-x)/(x²+3)有实数解
令
g(x)=(1-x)/(x²+3)则
a的范围即是g(x)的值域
g'(x)=[-x²-3-2x(1-x)]/(x²+3)²
=(x²-2x-3)/(x²+3)²
=(x+1)(x-3)/(x²+3)²
∵-1≤x≤1∴
(x+1)(x-3)
≤0
∴
g'(x)≤0
∴g(x)是减函数
∴x=-1
g(x)max=1/2
x=1,g(x)min=0
∴g(x)值域为[0,1/2]
∴实数a的取值范围是[0,1/2]
[-1,1]上有零点
即ax²+x-1+3a=0在[-1,1]上有实数解
即a(x²+3)=1-x
即
a=(1-x)/(x²+3)有实数解
令
g(x)=(1-x)/(x²+3)则
a的范围即是g(x)的值域
g'(x)=[-x²-3-2x(1-x)]/(x²+3)²
=(x²-2x-3)/(x²+3)²
=(x+1)(x-3)/(x²+3)²
∵-1≤x≤1∴
(x+1)(x-3)
≤0
∴
g'(x)≤0
∴g(x)是减函数
∴x=-1
g(x)max=1/2
x=1,g(x)min=0
∴g(x)值域为[0,1/2]
∴实数a的取值范围是[0,1/2]
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