Question

高中数学，圆锥曲线与方程

Answer 1

（1） 设交点为(x1,y1),(x2,y2)
|ab|=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)
将y2=kx2+1,y1=kx1+1
代入得
|ab|=√((x2-x1)²+(kx2-kx1)²)
=√(1+k²)|x2-x1|
将直线l:y=kx+1代入双曲线c:3x^2-y^2=1
得
3x²-(kx+1)²=1
整理得
3x²-k²x²-2kx-2=0
两根之差的绝对值为
|x2-x1|=√((x1+x2)²-4x1x2)=√(2k/(3-k²))²+8/(3-k²))
=√(2k+8(3-k²)/|3-k²|
=√(2k+24-8k²)/|3-k²|
|ab|=√(1+k²)*√(2k+24-8k²)/|3-k²|（2）a(x1,kx1
+1)、b(x2,kx2
+1)
将y=kx+1代入3x^2-y^2=1得：(3-k^2)x^2-2kx-2=0，由此得
x1+x2=(2k)/(3-k^2)，(x1)(x2)=2/(k^2-3)，判别式=(-2k)^2+8(3-k^2)=24-k^2>0，于是
|ab|=根号{(x2-x1)^2+[(kx2
+1)-(kx1
+1)]^2}=根号[(1+k^2)*(x2-x1)^2]
=根号{(1+k^2)*[(x2+x1)^2-4(x1)(x2)]}=2倍根号{[(6-k^2)(1+k^2)]/[(3-k^2)^2]}；
因此以ab为直径的圆的半径为根号{[(6-k^2)(1+k^2)]/[(3-k^2)^2]}，圆心为(k/(3-k^2),3/(3-k^2))，故该圆的方程为：[x-k/(3-k^2)]^2+[y-3/(3-k^2)]^2=[(6-k^2)(1+k^2)]/[(3-k^2)^2]
如果坐标原点在此圆上，则[k/(3-k^2)]^2+[3/(3-k^2)]^2=[(6-k^2)(1+k^2)]/[(3-k^2)^2]
即k^2=3（不合，舍去）或k^2=1
综上，存在存在实数k,使得以线段ab为直径的圆经过坐标原点。

Answer 2

1.
重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1
AB中点是原点(0，0)
设P(x,y)，C(x1,y1)
OC=3OP
∴x1=3x，y1=3y
∴C(3x,3y)
把C代入x+2y-2=0得
3x+6y-2=0
∴△ABC的重心G的
轨迹方程
为3x+6y-2=0
2.
设圆P的半径为r
∵圆P与圆A向内切
∴
圆心距
为半径之差
即AP=10-r
则BP=r，AP=10-r
∴BP+AP=10
∴P到两定点A、B的距离之和为定值
∴P的轨迹为焦点在y轴上的椭圆
设椭圆方程为x/b²+y/a²=1
(0＜b＜a)
则2a=10
a=5
c=3
b=√(a²-c²)=4
∴P的轨迹方程为x/16+y/25=1