Question

a>0,b>0且a≠1 b≠1,求极限lim (n→∞)((n√a+n√b)/2)^n ("n√"是n次根号下）

Answer 1

因为想要让极限存在，就必须让分母的最高此项大于等于分子的最高此项。而因为分子的最高此项为二次项，但分母却仅为一次项。所以，1-a=0。然后，只要线上下同时除以n，因为在极限中，1/n=0，所以，经过整理，得：lim（-a+b）=0，所以，只要
-(a+b)=0就行了。然后得到a=1，b=-1。

Answer 2

((n√a+n√b)/2)^n
=(a^1/n+b^1/2)*(1/2)^n
因为a^1/n+b^1/2为有界函数，而（1/2）^n为无穷小。
所以极限等于零。

Answer 3

解：∵lim(n->∞)[nln((a^(1/n)+b^(1/n))/2)]
=lim(n->∞)[(ln(a^(1/n)+b^(1/n))-ln2)/(1/n)]
=lim(x->0)[(ln(a^x+b^x)-ln2)/x]
(设x=1/n)
=lim(x->0)[(a^x*lna+b^x*lnb)/(a^x+b^x)]
(0/0型，应用罗比达法则)
=(lna+lnb)/2
=ln(ab)/2
∴原式=lim(n->∞){e^[nln((a^(1/n)+b^(1/n))/2)]}
=e^{lim(n->∞)[nln((a^(1/n)+b^(1/n))/2)]}
=e^(ln(ab)/2)
=√(ab)。