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函数只有一个极值亏让凯点,说明f'(x)只销唤有一个滑吵根,已经看得出x=0是一个根,所以4x^2+8ax+4不可能有零点,既然4x^2 +8ax+4没有零点,那根据零点定理,它肯定始终不变号,而x=0时它等于4>0,所以肯定总大于0
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因为f(x)=x^4+ax³+2x²+b仅在x=0处有极值,也就是只春肆颤有一个极值点;
由其导函数 f '(x)=x(4x²+3ax+4)=0可知:x=0;而u=4x²+3ax+4是一个二次函数,其图
像是一条开口朝上的抛物线,因此必有4x²+3ax+4>0对任何x都成立,否则必然还有零点,
也就是还有极值点,这与极值唯一的规定有矛盾。故断言是对的。
【下面是雹银对追问的回答:】
u=4x²+3ax+4是一个二次函数,其图像是一条开口朝上(因为二次项系
数A=4>0)的抛物线。由开口朝上的抛物线的性扒败质知道:如果抛物线与
x轴相交或相切,则其判别式∆=9a²-64≧0;抛物线与x轴的交点或切点就
是方程4x²+3ax+4=0的根,因为该方程的根x=[(-3a±√(9a²-64)]/8;
这时该抛物线有一部分图像在x轴的下面,或至少有一个切点;于是就使
f'(x)=x(4x²+3ax+4)=0除了x=0一个实根之外还有其它的零点,零点就是
题示函数的极值点。如果判别式=9a²-64<0,则表明该抛物线与x轴既不
相交,也不相切,也就是对任何x都有4x²+3ax+4>0.
由其导函数 f '(x)=x(4x²+3ax+4)=0可知:x=0;而u=4x²+3ax+4是一个二次函数,其图
像是一条开口朝上的抛物线,因此必有4x²+3ax+4>0对任何x都成立,否则必然还有零点,
也就是还有极值点,这与极值唯一的规定有矛盾。故断言是对的。
【下面是雹银对追问的回答:】
u=4x²+3ax+4是一个二次函数,其图像是一条开口朝上(因为二次项系
数A=4>0)的抛物线。由开口朝上的抛物线的性扒败质知道:如果抛物线与
x轴相交或相切,则其判别式∆=9a²-64≧0;抛物线与x轴的交点或切点就
是方程4x²+3ax+4=0的根,因为该方程的根x=[(-3a±√(9a²-64)]/8;
这时该抛物线有一部分图像在x轴的下面,或至少有一个切点;于是就使
f'(x)=x(4x²+3ax+4)=0除了x=0一个实根之外还有其它的零点,零点就是
题示函数的极值点。如果判别式=9a²-64<0,则表明该抛物线与x轴既不
相交,也不相切,也就是对任何x都有4x²+3ax+4>0.
追问
不好意思,可以再讲一下吗。。。从那个开口向上的抛物线
追答
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1),
∵稿贺f(ⅹ)=ⅹ^4+aⅹ^3+2ⅹ²+b,
∴f′(ⅹ)=4X^3+3aX²+4X
=x(4X²+3aX+4)
当a=-10/3时,
f′(x)=2X(2X-1)(Ⅹ-2),
令f′(x)=0得:
X1=0,X2=1/2,Ⅹ3=2,
∴X∈(-∞,0)时,吵敬举f′(ⅹ)<0,
x∈(0,1/2)时,f′(X)>0,
X∈(1/2,2)时,f′(X)<0,
X∈(2,+∞升碧)时,f′(X)>0,
∴f(X)在(0,1/2),(2,+∞)单增;在(-∞,0),(1/2,2)单减。
2),
∵f′(x)=X(4X²+3aⅹ+4),
当X=0时,4x²+3ax+4≠0,
∴X=0不是4x²+3aⅹ+4=0的根,为使f(X)只有在X=0处有极值,
必有4X²+3aX+4≥0恒成立,
∴△=9a²-64≤0,
∴-8/3≤a≤8/3,
故a∈[-8/3,8/3]为所求。
∵稿贺f(ⅹ)=ⅹ^4+aⅹ^3+2ⅹ²+b,
∴f′(ⅹ)=4X^3+3aX²+4X
=x(4X²+3aX+4)
当a=-10/3时,
f′(x)=2X(2X-1)(Ⅹ-2),
令f′(x)=0得:
X1=0,X2=1/2,Ⅹ3=2,
∴X∈(-∞,0)时,吵敬举f′(ⅹ)<0,
x∈(0,1/2)时,f′(X)>0,
X∈(1/2,2)时,f′(X)<0,
X∈(2,+∞升碧)时,f′(X)>0,
∴f(X)在(0,1/2),(2,+∞)单增;在(-∞,0),(1/2,2)单减。
2),
∵f′(x)=X(4X²+3aⅹ+4),
当X=0时,4x²+3ax+4≠0,
∴X=0不是4x²+3aⅹ+4=0的根,为使f(X)只有在X=0处有极值,
必有4X²+3aX+4≥0恒成立,
∴△=9a²-64≤0,
∴-8/3≤a≤8/3,
故a∈[-8/3,8/3]为所求。
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