Question

线性代数，向量组，极大线性无关组

Answer 1

　　设S是一个n维向量组,α1,α2,...αr 是S的一个部分组，如果
　　(1) α1,α2,...αr 线性无关；
　　(2) 向量组S中每一个向量均可由此部分组线性表示，
　　那么α1,α2,...αr 称为向量组S的一个极大线性无关组,或极大无关组。
　　基本定义
　　（1）只含零向量的向量组没有极大无关组。
　　（2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。
　　（3）极大线性无关组对于每个向量组来说并不唯一。但是每个向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量。
　　(4) 齐次方程组的解向量的极大无关组为基础解系

　　基本性质

　　性质 1
　　任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价。

　　性质 2
　　一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的。

　　性质 3
　　若一个向量组中的每个向量都能用另一个向量组中的向量线性表出，则前者极大线性无关向量组的向量个数小于或等于后者。

Answer 2

【解答】
1、对向量组作初等行变换
1 2 1 1 3
-1 1 2 -1 0
0 5 5 -2 7
4 6 2 0 14
化为行最简阶梯型
1 0 -1 0 2
0 1 1 0 1
0 0 0 1 -1
0 0 0 0 0
2、向量组的秩为3，极大线性无关组向量个数为3
选择 α1，α2，α4为一个极大线性无关组。
α3=-α1+α2
α5=2α1+α2-α4

【评注】
求解向量组的极大线性无关组步骤：
1、对列向量组进行初等行变换，化为最简行阶梯型
2、向量组的秩r即为极大线性无关组的向量个数
3、选择每个台阶的向量为极大线性无关组
4、其余向量用最简行阶梯型矩阵此向量的元素为系数来表示。

newmanhero 2015年4月17日19:32:02

希望对你有所帮助，望采纳。