Question

求解几道数学题

1.已知,如图,△ABC中,∠C=90°,点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别为垂足，且BC=8cm,CA=6cm,求点到三边AB、AC和BC的距离分别是多少？
2.如图，在△ABC中，AB=AC,P为BC上任意一点，请用所学过的知识说明：AB²-AP²=PB×PC。

Answer 1

1、
根据勾股定理可知AC=10
又因为角平分线上的点到两边的距离相等，可知OD=OE=OF
根据面积相等，AC×BC÷2＝（AC＋BC＋AB）×OD÷2
带入数据
解得三边距离都是4

（借鉴楼上的）

2 证明：
设P为BC上任意一点，作AD⊥BC
根据勾股定理得：
AP^2＝AD^2＋BD^2
因为AB＝AD，AD⊥BC
所以根据“三线合一”性质得BD＝CD
所以PB*PC＝(BD－PD)(CD＋BD)
＝(BD－PD)(BD＋PD)
＝BD^2－PD^2
所以
AP^2＋PB*PC
＝AD^2＋BD^2＋BD^2－PD^2
＝AD^2＋BD^2
因为由勾股定理得：
AD^2＋BD^2＝AB^2
所以AB^2－AP^2＝PB*PC

Answer 2

1、答案为4。
根据勾股定理可知AC=10
又：角平分线上的点到两边的距离相等，可知OD=OE=OF
根据面积相等，AC×BC÷2＝（AC＋BC＋AB）×OD÷2
带入数据
解得三边距离都是4

Answer 3

4

Answer 4

第二题：作BC边的垂直平分线，垂足为D，
则AB²=AD²+BD² AP²=AD²+PD²
所以 AB²-AP²=BD²-PD²
=（BP+PD）²-PD²
=BP²+2BP*PD=BP*（BP+2（CP-CD））
=BP²+2BP*PC-2CD*BP
=BP*（BP-2CD+PC）+BP*PC
=BP*（BC-2CD）+BP*PC
又因为AB=AC，所以 BC-2CD
所以 AB²-AP²=PB*PC