Question

一道指数函数题，大家帮一下··谢谢

已知f(x)为定义在R上的奇函数，且当x∈(0，1)时，f(x)=2^x/(4^x+1)。
（1）求f(x)在（-1，1）上的解析式
（2）证明f(x)在（0，1）上是减函数

Answer 1

（1）解：
∵f(x)为R上的奇函数
∴f(－x)＝－f(x)
当x∈(－1,0)时，－x∈(0,1)，则有
f(x)＝－f(－x)＝－2^(－x)/[4^(－x)＋1]＝－2^x/(4^x＋1)
又∵f(x)为奇函数
∴f(0)＝0
答：f(x)在(－1,1)上的解析式为
f(x)＝2^x/(4^x＋1) x∈(0,1)
0 x＝0
－2^x/(4^x＋1) x∈(－1,0)

（2）证明：
任取x1，x2∈(0,1)，有
f(x2)－f(x1)＝2^x2/(4^x2＋1)－2^x1/(4^x1＋1)
＝1/(2^x2＋1/2^x2)－1/(2^x1＋1/2^x1)
＝(2^x1＋1/2^x1－2^x2－1/2^x2)/(2^x2＋1/2^x2)(2^x1＋1/2^x1)
＝[(2^x2－2^x1)/2^(x1＋x2)－(2^x2－2^x1)])/(2^x2＋1/2^x2)(2^x1＋1/2^x1)
＝(2^x2－2^x1)[1－2^(x1＋x2)])/2^(x1＋x2)(2^x2＋1/2^x2)(2^x1＋1/2^x1)
显然分母＞0
∵x2＞x1,g(x)＝2^x为增函数
∴2^x2－2^x1＞0
∵x1＞0，x2＞0
∴x1＋x2＞0
∴2^(x1＋x2)＞1
∴1－2^(x1＋x2)＜0
∴f(x2)－f(x1)＜0
∴f(x)在(0,1)上是减函数