证明：如果正交矩阵有实特征值，则其特征值只能是1或-1．
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【答案】：设A的实特征值为λ，A的属于λ的特征向量为考，则Aξ=λξ，且ξTξ≠0．
∵A为正交矩阵，ATA=E．由(Aξ)T(Aξ)=(λξ)T(λξ)，即ξT(ATA)ξ=λ2ξTξ，
ξTξ=λ2ξT，∵λ2=1，λ∈R，即λ=±1． 故正交矩阵的实特征值只能是-1或1．
∵A为正交矩阵，ATA=E．由(Aξ)T(Aξ)=(λξ)T(λξ)，即ξT(ATA)ξ=λ2ξTξ，
ξTξ=λ2ξT，∵λ2=1，λ∈R，即λ=±1． 故正交矩阵的实特征值只能是-1或1．
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