Question

如图所示，BE、CD交于A点,∠DCB与∠DEB的平分线相交于F

如图所示，BE、CD交于A点,∠DCB与∠DEB的平分线相交于F。
（1）∠DCB、∠DEB、∠B、∠D有何等量关系？
（2）当∠B：∠D：∠F=2：4：x时，x为多少？

Answer 1

(1)∵∠DCB+∠B+∠BAC=180°,∠DEB+∠D+∠DAE=180°,∠BAC=∠DAE,
∴∠DCB+∠B=∠DEB+∠D。
(2)同上可知∠B+∠BCF=∠F+∠FEB,∠F+∠FCD=∠D+∠DEF,
两式相减，∵∠BCF=∠FCD,∠FEB=∠DEF
∴得∠B-∠F=∠F-∠D,即∠B+∠D=2∠F。
因此，当∠B:∠D:∠F=2:4:x时，x=3

Answer 2

∠D+∠1=∠3+∠F①（对顶角，三角形内角和=180°）
∠2+∠F=∠B+∠4②（对顶角，三角形内角和=180°）
已知∠DCB与∠DEB的平分线CF、EF
∠1=∠2，∠3=∠4

（2）设∠B=2k，则∠D=4k
∴∠F=3k
∴∠B：∠D：∠F=2k：4k：3k=2：4：x
∴x=3．