Question

曲面方程为z= x²+ y²，则曲面为？

Answer 1

曲面方程为z=x²+y²，则曲面为旋转抛物面
所谓旋转抛物面就是由一根抛物线绕其对称轴旋转一周而得到的曲面。

因此，我们把在xz面上以z轴为对称轴的抛物线z=a+b•x^2（a，b是常数，且b≠0），让他绕z轴旋转一周，所得的曲面就是旋转抛物面。为了得到这个旋转面的方程，根据生成旋转面的口诀：''绕z不换z，根号里面没有z。'' 因为是z=a+b•x^2绕z轴而得，所以不能换其中的变量z，只能换其中的变量x，故把x换为±√(囗^2+△^2)，再根据口诀，根号里面没有z，而里面又有两个变量的平方和，所以只能是x^2+y^2，既要把x，换为±根号下x^2+y^2，因此也就是把x^2换为[±√(x^2+y^2)]^2=X^2+y^2，因此该旋转抛物面的方程就是

z=a+b•(X^2+y^2)。
当a = b时，曲面称为旋转抛物面，它可以由抛物线绕着它的轴旋转而成。它是抛物面反射器的形状，把光源放在焦点上，经镜面反射后，会形成一束平行的光线。反过来也成立，一束平行的光线照向镜面后，会聚集在焦点上。