Question

1/ x趋于正无穷大时，(1/ x)^ x的极限是多少

Answer 1

当我们计算 (1 + 1/x)^x 的极限时，我们可以使用极限的性质和一些数学技巧来求解。
首先，我们可以注意到当 x 趋近于正无穷大时，1/x 趋近于 0。这样，我们可以将极限表达式转化为以下形式：
lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = lim(x→∞) [(1 + 1/x)^(1/x)]^x
现在，我们可以应用指数函数的极限性质，即 lim(y→0) (1 + y)^(1/y) = e，其中 e 是自然对数的底数。
将 y = 1/x，我们可以将极限表达式进一步转化为：
lim(x→∞) [(1 + 1/x)^(1/x)]^x = e^lim(x→∞) x * (1/x)
由于 e^0 = 1，lim(x→∞) x * (1/x) = lim(x→∞) 1 = 1。
因此，最终得到：
lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e^1 = e
所以，当 x 趋近于正无穷大时，(1 + 1/x)^x 的极限是 e，即 2.71828...（自然对数的底数）。