Question

已知a+b+c=1,a平方+b平方+c平方=3，a>b>c,求证 -2/3<b+c<1/2

Answer 1

a>b>c
a+b+c=1
=>a=1-(b+c)

假设b+c<=-2/3
则a=1-(b+c)>=1+2/3=5/3
b^2+c^2>=(b+c)^2/2
=>a^2+b^2+c^2>(5/3)^2+(b+c)^2/2=25/9+2/9=3 （因为b>c,不能取等号）
=>a^2+b^2+c^2>3,这和条件矛盾，因此假设不成立，
=>b+c>-2/3

假设b+c>=1/2
那么a=1-(b+c)<=1-1/2=1/2
=》a<1/2
又a>b,=>b<1/2
=>c>0

a^2+b^2+c^2<=(1/2)^2+(1/2)^2+(1/2)^2=3/4<3
这和a^2+b^2+c^2=3矛盾，因此假设不成立
=>b+c<1/2

因此-2/3<b+c<1/2