Question

如图，在梯形ABCD中，AB//DC，AD=BC=2，AC⊥BD，∠ADC=60°，EF为中位线，求EF的长

Answer 1

EF的长为根号3

由题意可知，该梯形为等腰梯形
不妨设AB=a，则根据条件可知CD=a+2
（作AM⊥CD，垂足为M，作BN⊥CD，垂足为N，则DM=CN=1，AM=BN=根号3,故CD=a+2）
EF为中位线，则EF=(AB+CD)/2=a+1
∵AC⊥BD，设AC与BD交于O点
则△OAB与△OCD均为等腰直角三角形
O点到AB的距离d1即为AB/2=a/2（直角三角形斜边的中线的等于斜边的一半，而等腰直角三角形中，斜边的中线即为高，故得）
同理，O到CD的距离d2即为CD/2=(a+2)/2
而d1+d2=AM=BN
∴ a/2+(a+2)/2=根号3
化解得，a+1=根号3
∴ 中位线EF的长为根号3