Question

已知a、b、c分别为△ABC的三边，且c=2 ，b=√2a，则三角形ABC面积的最大值为？

Answer 1

方法一：
设BC=a，则AC=√2a。由余弦定理：
cosC=(3a²-4)/2√2a²，
∴sinC=√(-a^4+24a²-16)/2√2a²
∴三角形面积=√(-a^4+24a²-16)/4
=√[128-(a²-12)²]/4
≤√128/4=8√2/4=2√2
∴最大面积2√2.

方法二：
设顶点C的坐标（x，y），则三角形面积为2*y/2=y
下面求y的范围
由AC等于根号2BC，而AC长度的平方=x^2+y^2,BC长度的平方=(x-2)^2+y^2
故x^2+y^2=2*（(x-2)^2+y^2）
化简得y^2=-x^2+8x-8
这个二次函数的最大值是8
所以y的最大值是2倍根号2
所以三角形面积最大值为2倍根号2。

Answer 2

根据海伦公式S=(1/4)√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)]

把c=2 ，b=√2a代入化简整理得

S=(1/4)√[128-(a^2-12)^2]

因为c>b-a=(√2-1)a,c<a+b=(√2+1)a

所以2√2-2<a<2√2+2

所以，当a=2√3时，S最大

Smax=(1/4)√128=2√2