Question

已知数列{an}的前n项和sn，a1=2，na(n+1)=sn+n(n+1)

已知数列{an}的前n项和sn，a1=2，na(n+1)=sn+n(n+1)
(1)求数列{an}的通项公式
（2）设bn=sn/2^n,如果对一切正整数n都有bn<=t，求t的最小值

Answer 1

解：∵数列{a[n]}的前n项和为S[n],na[n+1]=S[n]+n(n+1)
∴nS[n+1]-nS[n]=S[n]+n(n+1)
nS[n+1]-(n+1)S[n]=n(n+1)
S[n+1]/(n+1)-S[n]/n=1
∵a[1]=2
∴S[1]=a[1]=2
∴{S[n]/n}是首项为S[1]/1=2，公差为1的等差数列
即：S[n]/n=2+(n-1)=n+1
∴S[n]=n(n+1)

∵S[n-1]=(n-1)n
∴将上面两式相减，得：
a[n]=2n

(2)bn=Sn/2^n=n(n+1)/2^n<=t.
n=1,t>=1
n=2,t>=3/2,
n=3,t>=3/2
n=4,t>=5/4
所以有:t>=3/2,即t的最小值是3/2.